李表面（Lie theory），定名自19世纪的挪威数学家索菲斯·李，是数学和物理学中一个极其遑急且平凡愚弄的表面，其根柢主见是李群和李代数。这个表面提供了一个深切的框架，用于形容对称性和谄谀变换，因此在许多科学领域中齐有着平凡的愚弄，包括量子力学、粒子物理、晶体学和机器东说念主学。本文咱们将深入探讨李表面的基本主见。
当你在谷歌中搜索“李表面”，会出现这张图片，
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它使得该表面看起来比本色上更难。但是，淌若你老练复数，那么你也曾碰到了一个例子，那即是那些于模为1的复数，
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你的本能响应可能是将这些数字视为 e^(i θ)。
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但淌若你更深入地想考，本色上是在这个复数圆上施加了一个坐标系统，例如，咱们不错说这少量是 e^(i * 0.7π)，
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这个圆是所谓的李群（Lie group）的一个例子，将在稍后解释，但一般来说，它不错是更高维的，更难以可视化的。李表面的精髓是，即使在这些复杂的情况下，也要尽量施加一个坐标系统，使其更容易处分。
让咱们略微详备地讲述李表面，从李群启动。李群同期是两个东西，它是一个群，但亦然一个流形。
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李群-群
最初让咱们了解一下什么是群，因为它是一个更容易的主见。
明面上努力恐怕只是冰山一角。今日胜利幕后，一定还有外交外事部门通力配合折冲樽俎，一定伴随大批外交人员相关部门人员坚守岗位无数个不眠之夜。或许已经习惯对手打还手、骂不还口，西方先是大吃一惊，随后倒打一耙，中国抓康明凯、迈克尔?斯帕弗是搞“人质外交”。群基本上是一组得志某些属性的对象，使它们看起来具有对称性。咱们生机对称性得志的第一个属性是顽固性。以正三角形的对称性G为例，咱们将 h 示意为沿斜轴的反射对称性，g 示意为沿垂直轴的另一个反射对称性，那么将 g · h 界说为函数组合，即最初作念 h，然后作念 g。事实解说，g 和 h 组合是一个旋转。效果不遑急-遑急的是效果仍然是一个对称性，因此它仍然在 G 中。
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但为了使这个公理缔造，咱们需要对每对 g 和 h 齐解说这少量。你不错逐一考据这个情况，但把柄界说，对称性是任何保捏对象不变的变换。是以欧瑞博c1使用智家365淌若 g 和 h 是对称的，它们保捏对象不变，那么天然，先作念 h 然后作念 g 也会保捏对象不变，因此亦然一个对称性。
对称性还解任一些其他属性，如“结合律”：
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如存在一个恒等元：
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临了，对称性齐有一个逆：
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淌若一组对象得志这4个条目，它就组成一个群。一个对象的对称性天然地造成一个群。淌若给定一组数字或矩阵，比如一启动的复数单元圆，搜检该聚合是否得志这些属性是很有必要的。在这种情况下，你只需要使用模数相乘，甚而不需要用欧拉公式，
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天然，不单是是这个圆造成了一个群。旋转矩阵的聚合，正交或酉矩阵齐是群，
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淌若你对群不太老练，我热烈提出你对这些聚合的群公理进行补习。你所需要的只是转置、伴和顺行列式的一些其他属性，
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总之，群只是李表面的一部分。李群亦然流形，那么什么是流形呢？让咱们通过一个例子来透露：复数的圆。
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这个圆是流形，有趣是在它上头的每少量，其邻域基本上看起来像一条线，只是变形了。让咱们放大这少量的邻域。
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在圆的情况下，这是一个弧，不错平滑地变形为直线。
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皇冠体育代理但通常遑急的是，这条线也不错平滑地变回弧。这种双向变形即是我所说的“看起来像一条线”。天然，不单是是圆上的这一特定点。每个点齐有这么的属性，即邻域看起来像一条线。这即是咱们称圆为一维流形（1-dimensional manifold）的原因。
但是还有更高维的流形，有趣是一样的。
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只是任何点的邻域不再看起来像一条线，而是（在这个圆环的情况下）看起来像一个平面。是以，一个圆环的名义是一个二维流形。一个更奇特的例子是SO（3），三维的旋转。SO（3）看起来像什么呢？
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关于三维旋转，最初要指明旋转轴，然后是绕这个轴的旋转角度θ。咱们不错将这个特定的旋转示意为流形上的一个点，球是一个实心球。球上的相应点将沿着旋转轴的某处。轴上的位置取决于绕这个轴的旋转角度。例如，这个轴上的点，从中心朝上的θ单元，对应于沿着这个轴的θ旋转。至于标的，使用右手划定。是以这个点在中心上方，意味着使用右手划定的逆时针旋转。临了，咱们将旋转角戒指为π，是以淌若你的旋转角稀罕π，那么就朝相背的标的旋转。
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这即是咱们不错从几何上想考SO（3）的形势，但这是一个相等奇怪的几何图形，因为这两个相对的点本色上代表了疏导的旋转：
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毕竟，它们齐代表了180度的顺时针或逆时针旋转。你不错把这两个点看作是一个重复的门，当你朝一个标的旋转得越来越多，况且稀罕了π，那么立即通过门连接朝上行进。
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但这不单是是一双点，球的名义上的每一个所在齐是一个门，只是旋转轴不同。
淌若听起来很奇怪，那如实是奇怪的，但是，这仍然是一个流形，更具体地说是一个三维流形，这不错在更高的维度中正确地可视化，但必须在5维空间中能力作念到这少量。总的来说，一个n维流形意味着悉数的邻域齐“看起来像”n维空间。
李群同期是群和流形的举座想想意味着两件事：最初，咱们毋庸把这些SO(n)和SU(n)隧说念地看作一堆矩阵，咱们不错几何地想考它们，尽管在更高维的旋转中，它变得不那么可视化。其次，在这两者的交叉口，咱们不错使用群论的器具和微分几何的器具，这是流形的扣问，来扣问它们。李最初将李群视为流形。
李代数
地球的名义是流形的另一个例子，天然地球的名义是鬈曲的，但是咱们不错通过施加一个坐标系统（例如经纬度系统）来制作一张平面的舆图。这么，咱们就不错将复杂的鬈曲空间滚动为更容易处分的平面空间。这是一个将复杂的几何对象（如地球名义）简化为咱们不错更容易处分的对象（如舆图）的例子。
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李的想想是访佛的。李群是复杂的曲面流形，通常，咱们要斥地一个坐标系统，一个平的空间来处分它，阿谁平的空间即是李代数。让咱们用更多的细节阐述这少量。在李群是复数圆的情况下，坐标系统由1（恒等元）处的切线组成。
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它的责任旨趣是将切线向量与圆上的点相对应，这瑕瑜常天然的。淌若向量的长度是θ，那么咱们将它对应到李群上1处距离θ的一个点。
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本色上，这个向量不错被觉得是iθ，
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这是因为复数不仅是平面上的少量，也不错被觉得是从原点到该点的一个向量，
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是以朝上的向量对应于纯虚数，
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因此，这个朝上的切线向量不错被觉得是iθ。但是咱们说，作为一个坐标系统，切线向量对应于距离恒等元θ的一个点，你知说念这个点是什么吗？这恰是
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这也与更一般的李群和李代数的相等相似。
最初，有一个李群，咱们想找到这个群的恒等元（即1）。一朝完成了这个任务，有筹商恒等式处的切空间。这个平的空间是对应的李群的李代数。
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李代数作为坐标系统的责任旨趣是使切空间（即1处的切线）上的切线向量“包装”在李群上，然后取端点。
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这种将切线向量对应到流形上的点的“包装”动作称为指数映射（exponential map）。在这个特定的情况下，向量iθ被包装到李群上的e^(iθ)，是以它本色上是一个指数映射。
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但这种指数映射的主见适用于一般的流形，而不单是是李群。
换句话说，即使关于一般的流形，将切空间上的切线向量映射到流形上的点的动作仍然被称为指数映射，梦想情况下，咱们但愿只使用平的空间，因为它比鬈曲的对象更容易处分。
这个指数映射，或者本色上，其逆映射，或对数映射，将把流形上的少量归附到平坦空间上的一个切线向量。是以，这是透露李群的第一步。把它四肢流形，咱们想要把李群归附为李代数，通过对数映射，将恒等元处的切空间归附。
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体育博彩大全但是，淌若咱们把李群四肢群，会若何呢？群公理告诉咱们群元素和点乘应得志哪些条目，
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是以咱们难得这么一个群的乘法是若何运算的。
例如来说，有一个李群，其恒等元用红点示意，对应的李代数，是恒等元处的切空间。中间的红点对应于李群上的恒等元。
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让咱们有筹商一双元素g，h，以及它们的乘积g·h。咱们不错用对数映射将悉数这些点归附到平坦空间上的切线向量，
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该映射将悉数这些点归附到平坦空间上的切线向量。目下，淌若只消对应于g和h的这些切线向量，能否不参考李群，就能笃定对应于g·h的切线向量呢？
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一个生动的预料可能是
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皇冠客服飞机：@seo3687但这些g和h是矩阵，它们的乘法形势与数字不同。
但是，本色上存在一个公式。淌若用X示意log g，用Y示意log h，用Z示意log (g·h)，那么Z不错作为无尽级数
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这看起来令东说念主生畏，但不错理会为两个通俗的操作：最初，加法或减法。这恰是那些切线向量的加法或减法。其次，这些方括号，被称为李括号（Lie brackets）。目下，你不错将它们视为将两个切线向量变为另一个切线向量的通俗但特定的操作。因此，淌若咱们还知说念李括号，那么就知说念对应于g·h的切线向量。这个公式，称为Baker-Campbell-Hausdorff公式，简称BCH公式，使咱们或者绝对在李代数上复制群乘法。是以，咱们不错只在李代数上运算，而不是在鬈曲的空间上。
目下，在李群上，群公理告诉咱们乘法应该得志什么，而在李代数上，李括号也会相应地得志一些性质。
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目下，这些性质的细节不遑急，但要知说念，这些李括号的性质频繁来自于李群中的乘法性质。识别这些性质是绝对废弃李群，只关注李代数的另一步。因此，尽管咱们原来想扣问李群（因为它是一个更通用的结构），但咱们不错转而扣问李代数，因为李代数包含了李群的悉数遑急信息，况且它是一个更通俗的结构。如今，大渊博教科书将李代数界说为一个具有得志悉数这些性质的李括号的向量空间，但应值得精明的是，这些李群是这些性质的遑急根源。
李表面图示
这引出这个被觉得代表李表面的图示。
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这是什么呢？淌若你传奇过怪兽群（monster group），它们主见是相似的。关于怪兽群，咱们想要有筹商有限群，有限聚合G，
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这么不错界说得志这些公理的乘法。这些有限群不错理会为不同的构建块，被称为通俗群（simple groups）。
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这些通俗群是有限群的原子，数学家想要对这些构建块进行分类。有许多不同的机制不错产生无尽多的通俗群。以相似形势产生的构建块被归为一个无尽族（infinite families）。但是还有许多可能性，被称为“稀薄”群（sporadic groups）。有26或27个，取决于你是否想将其中一个（构建块）筹谋在那些无限族中。
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趁机说一句，这个构建块被称为蒂茨群（Tis group），以法国数学家雅克·蒂茨定名。
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这有点离题，因为这些稀薄群的明星是怪兽群，到目下为止是最大的、最复杂的稀薄群（这26、27个稀薄群中的）。这个分类与对李代数的分类访佛。访佛于群的界说，李代数也有一个得志某些性质的李括号。只用这些性质，咱们想要对李代数的构建块进行分类。访佛于群的情况，这些通俗李代数有无尽的族。这不像群，适值只消4个，分辨标为A_n, B_n, C_n和D_n。除了这些无限族外，还有适值5个被遗漏的，被称为“例外”的李代数，分辨标为E_6、E_7、E_8、F_4和G_2。
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E_8是这五个中最复杂的，因此它在某种历程上是李代数中的怪兽群。这个特定的图片是E_8的图示形容：
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是以，即使想要扣问李群，咱们也要转而扣问李代数，因为悉数信息齐被保留了，况且它们更容易扣问。
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